Uszczelka apollińska to rodzaj obrazu fraktalnego, który powstaje ze zbioru coraz mniejszych kręgów zawartych w jednym dużym okręgu. Każdy okrąg w Uszczelce apollińskiej jest styczny do sąsiednich okręgów – innymi słowy, okręgi w Uszczelce apollińskiej stykają się w nieskończenie małych punktach. Nazwany na cześć greckiego matematyka Apoloniusza z Pergi, ten rodzaj fraktala można narysować (ręcznie lub komputerowo) w rozsądnym stopniu złożoności, tworząc piękny, uderzający obraz. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć.
Kroki
Część 1 z 2: Zrozumienie kluczowych pojęć
Aby było jasne, jeśli interesuje cię po prostu narysowanie apollińskiej uszczelki, nie jest konieczne badanie zasad matematycznych stojących za fraktalem. Jeśli jednak chcesz głębiej zrozumieć apollińskie uszczelki, ważne jest, aby zrozumieć definicje kilku pojęć, których będziemy używać podczas ich omawiania.
Krok 1. Zdefiniuj kluczowe terminy
W poniższych instrukcjach używane są następujące terminy:
- Apollińska Uszczelka: Jedna z kilku nazw typu fraktala składającego się z szeregu okręgów zagnieżdżonych w jednym dużym okręgu i stycznych do wszystkich pozostałych w pobliżu. Są one również nazywane „Soddy Circles” lub „Kissing Circles”.
- Promień okręgu: odległość od środka okręgu do jego krawędzi. Zwykle przypisywana zmienna r.
- Krzywizna okręgu: dodatnia lub ujemna odwrotność promienia lub ±1/r. Krzywizna jest dodatnia w przypadku zewnętrznej krzywizny koła i ujemna w przypadku krzywizny wewnętrznej.
- Styczna: Termin stosowany do linii, płaszczyzn i kształtów, które przecinają się w jednym nieskończenie małym punkcie. W apollińskich uszczelkach odnosi się to do faktu, że każdy okrąg styka się z każdym pobliskim okręgiem tylko w jednym punkcie. Zwróć uwagę, że nie ma przecięcia - kształty styczne nie nakładają się na siebie.
Krok 2. Zrozum twierdzenie Kartezjusza
Twierdzenie Kartezjusza to wzór, który jest przydatny do obliczania rozmiarów okręgów w apollińskiej uszczelce. Jeśli zdefiniujemy krzywizny (1/r) dowolnych trzech okręgów odpowiednio jako a, b i c, Twierdzenie stwierdza, że krzywizna okręgu (lub okręgów) stycznych do wszystkich trzech, które zdefiniujemy jako d, jest: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Do naszych celów będziemy używać zasadniczo tylko odpowiedzi, którą uzyskamy, umieszczając znak plus przed pierwiastkiem kwadratowym (innymi słowy … + 2 (sqrt(…)). Na razie wystarczy wiedzieć, że odejmowanie forma równania ma swoje zastosowanie w innych powiązanych zadaniach
Część 2 z 2: Konstruowanie apollińskiej uszczelki
Apollińskie Uszczelki przybierają formę pięknych fraktalnych układów kurczących się kręgów. Matematycznie, apollińskie uszczelki mają nieskończoną złożoność, ale niezależnie od tego, czy używasz programu komputerowego do rysowania, czy tradycyjnych narzędzi do rysowania, w końcu osiągniesz punkt, w którym nie da się narysować mniej okręgów. Pamiętaj, że im dokładniej narysujesz okręgi, tym więcej zmieścisz w swojej Uszczelce.
Krok 1. Zbierz cyfrowe lub analogowe narzędzia do rysowania
W poniższych krokach stworzymy naszą własną prostą apollińską uszczelkę. Uszczelki apollińskie można narysować ręcznie lub na komputerze. W obu przypadkach będziesz chciał narysować idealnie okrągłe koła. To jest dość ważne. Ponieważ każdy okrąg w apollińskiej uszczelce jest idealnie styczny do okręgów obok niego, nawet lekko zniekształcone okręgi mogą „zrzucić” końcowy produkt.
- Jeśli rysujesz uszczelkę na komputerze, będziesz potrzebować programu, który pozwoli ci łatwo narysować okręgi o ustalonym promieniu z centralnego punktu. Gfig, rozszerzenie do rysowania wektorowego dla bezpłatnego programu do edycji obrazów GIMP, może być używane, podobnie jak wiele innych programów do rysowania (patrz sekcja materiałów, aby uzyskać odpowiednie linki). Prawdopodobnie będziesz także potrzebować kalkulatora i dokumentu w edytorze tekstu lub fizycznego notatnika do robienia notatek na temat krzywizn i promieni.
- Aby ręcznie narysować uszczelkę, potrzebujesz kalkulatora (sugerowany naukowy lub graficzny), ołówka, kompasu, linijki (najlepiej skali z oznaczeniami milimetrowymi, papieru milimetrowego i notatnika do robienia notatek.
Krok 2. Zacznij od jednego dużego koła
Twoje pierwsze zadanie jest łatwe - wystarczy narysować jedno duże, idealnie okrągłe koło. Im większy okrąg, tym bardziej złożona może być Twoja uszczelka, więc spróbuj utworzyć okrąg tak duży, jak pozwala na to papier, lub tak duży, jak łatwo można go zobaczyć w jednym oknie w programie do rysowania.
Krok 3. Utwórz mniejszy okrąg wewnątrz oryginału, styczny z jednej strony
Następnie narysuj kolejny okrąg wewnątrz pierwszego, który jest mniejszy niż oryginał, ale nadal dość duży. Dokładny rozmiar drugiego koła zależy od Ciebie - nie ma odpowiedniego rozmiaru. Jednak dla naszych celów narysujmy nasz drugi okrąg tak, aby sięgał dokładnie połowy naszego dużego zewnętrznego koła. Innymi słowy, narysujmy nasz drugi okrąg tak, aby jego centralny punkt był środkiem promienia dużego koła.
Pamiętaj, że w apollińskich uszczelkach wszystkie koła, które się stykają, są do siebie styczne. Jeśli używasz cyrkla do ręcznego rysowania okręgów, odtwórz ten efekt, umieszczając ostry koniec cyrkla w środku promienia dużego zewnętrznego okręgu, dostosowując ołówek tak, aby tylko dotykał krawędzi dużego okręgu, następnie narysuj swój mniejszy wewnętrzny okrąg
Krok 4. Narysuj identyczny okrąg „naprzeciw” mniejszego koła wewnętrznego
Następnie narysujmy kolejny okrąg naprzeciwko naszego pierwszego. Ten okrąg powinien być styczny zarówno do dużego zewnętrznego okręgu, jak i mniejszego wewnętrznego okręgu, co oznacza, że twoje dwa wewnętrzne okręgi będą się stykać dokładnie w środku dużego zewnętrznego okręgu.
Krok 5. Zastosuj twierdzenie Kartezjusza, aby znaleźć rozmiar następnych okręgów
Przestańmy na chwilę rysować. Teraz, gdy w naszej Uszczelce mamy trzy okręgi, możemy użyć Twierdzenia Kartezjusza, aby znaleźć promień następnego okręgu, który narysujemy. Pamiętaj, że twierdzenie Kartezjusza brzmi: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), gdzie a, b i c to krzywizny twoich trzech okręgów stycznych, a d to krzywizna okręgu styczna do wszystkich trzech. Tak więc, aby znaleźć promień naszego następnego okręgu, znajdźmy krzywiznę każdego z okręgów, które mamy do tej pory, abyśmy mogli znaleźć krzywiznę następnego okręgu, a następnie przekształć to na jego promień.
-
Zdefiniujmy promień naszego zewnętrznego okręgu jako
Krok 1.. Ponieważ pozostałe kręgi znajdują się wewnątrz tego, mamy do czynienia z jego wewnętrzną krzywizną (a nie z zewnętrzną krzywizną) iw konsekwencji wiemy, że jego krzywizna jest ujemna. - 1/r = -1/1 = -1. Krzywizna dużego koła to - 1.
-
Promienie mniejszych okręgów są o połowę mniejsze niż promienie dużego okręgu, czyli innymi słowy 1/2. Ponieważ te kręgi stykają się ze sobą i dużym okręgiem zewnętrzną krawędzią, mamy do czynienia z ich zewnętrzną krzywizną, więc ich krzywizny są dodatnie. 1/(1/2) = 2. Krzywizny mniejszych okręgów to obie
Krok 2..
-
Teraz wiemy, że a = -1, b = 2 i c = 2 dla naszego równania z twierdzeniem Kartezjusza. Rozwiążmy dla d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kwadrat (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kwadrat (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Krzywizna naszego następnego okręgu to
Krok 3.. Ponieważ 3 = 1/r, promień naszego następnego okręgu wynosi 1/3.
Krok 6. Utwórz następny zestaw kręgów
Użyj właśnie znalezionej wartości promienia, aby narysować kolejne dwa okręgi. Pamiętaj, że będą one styczne do okręgów, których krzywizny użyłeś dla a, b i c w twierdzeniu Kartezjusza. Innymi słowy, będą styczne zarówno do pierwotnego, jak i drugiego kręgu. Aby te kręgi były styczne do wszystkich trzech kręgów, musisz je narysować w otwartych przestrzeniach na górze i na dole obszaru wewnątrz dużego oryginalnego koła.
Pamiętaj, że promienie tych okręgów będą równe 1/3. Odmierz 1/3 od krawędzi zewnętrznego okręgu, a następnie narysuj nowy okrąg. Powinien być styczny do wszystkich trzech otaczających kręgów
Krok 7. Kontynuuj w ten sposób, aby kontynuować dodawanie kręgów
Ponieważ są fraktalami, apollińskie uszczelki są nieskończenie złożone. Oznacza to, że możesz dodawać coraz mniejsze kółka do treści swojego serca. Ogranicza Cię tylko precyzja narzędzi (lub, jeśli używasz komputera, zdolność programu do rysowania do "powiększenia"). Każdy okrąg, nieważne jak mały, powinien być styczny do trzech innych okręgów. Aby narysować każdy kolejny okrąg w swojej Uszczelce, podłącz krzywizny trzech okręgów, do których będzie on styczny, do twierdzenia Kartezjusza. Następnie użyj swojej odpowiedzi (która będzie promieniem twojego nowego okręgu), aby dokładnie narysować nowy okrąg.
- Zauważ, że Uszczelka, którą wybraliśmy do narysowania, jest symetryczna, więc promień jednego okręgu jest taki sam, jak odpowiadającego mu okręgu „naprzeciw niego”. Wiedz jednak, że nie każda uszczelka apollińska jest symetryczna.
-
Zajmijmy się jeszcze jednym przykładem. Powiedzmy, że po narysowaniu naszego ostatniego zestawu okręgów, chcemy teraz narysować okręgi, które są styczne do naszego trzeciego zestawu, naszego drugiego zestawu i naszego dużego zewnętrznego okręgu. Krzywizny tych okręgów wynoszą odpowiednio 3, 2 i -1. Podłączmy te liczby do twierdzenia Kartezjusza, ustawiając a = -1, b = 2 i c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kwadrat (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kwadrat (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kwadrat (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Mamy dwie odpowiedzi! Ponieważ jednak wiemy, że nasz nowy okrąg będzie mniejszy niż którykolwiek z okręgów, do którego jest styczna, tylko krzywizna
Krok 6. (a zatem promień 1/6) ma sens.
- Nasza druga odpowiedź, 2, w rzeczywistości odnosi się do hipotetycznego okręgu po drugiej stronie punktu stycznej naszego drugiego i trzeciego okręgu. Ten krąg jest styczna do obu tych okręgów i do dużego zewnętrznego okręgu, ale przecinałaby okręgi, które już narysowaliśmy, więc możemy ją zignorować.
Krok 8. W przypadku wyzwania spróbuj wykonać niesymetryczną uszczelkę apollińską, zmieniając rozmiar drugiego koła
Wszystkie apollińskie uszczelki zaczynają się tak samo – z dużym zewnętrznym okręgiem, który działa jak krawędź fraktala. Jednak nie ma powodu, dla którego twój drugi okrąg musi koniecznie mieć 1/2 promienia pierwszego - po prostu wybraliśmy to powyżej, ponieważ jest to proste i łatwe do zrozumienia. Dla zabawy spróbuj rozpocząć nową Uszczelkę z drugim kołem o innej wielkości - doprowadzi to do ekscytujących nowych dróg eksploracji.
